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本专题包含 10 个可单独查看的知识点

任意角与弧度制单位圆与三角函数定义同角三角函数基本关系诱导公式正弦、余弦和正切函数图像函数 y=A sin(ωx+φ)+k两角和与差的三角函数二倍角与降幂公式正弦定理与余弦定理三角形面积与解三角形应用

01 概念详解

先把概念边界弄清楚

01

任意角与弧度制

终边相同的角相差 2kπ。弧度制用弧长与半径的比表示角，使三角函数周期、导数和物理周期模型的表达更自然。

  • 180°=π rad
  • 弧长 l=αr
  • 扇形面积 S=αr²/2
  • 角度制与弧度制不能混算
02

同角关系与诱导公式

同角关系用于函数名之间的转化，诱导公式用于把任意角转成基本角。符号最终应由终边所在象限判断。

  • sin²x+cos²x=1
  • tan x=sin x/cos x
  • 先统一角再统一函数名
  • 平方开方会产生绝对值
03

正弦型函数图像

y=A sin(ωx+φ)+k 中，|A|决定振幅，2π/|ω|决定周期，φ与ω共同决定相位，k 是平衡位置。

  • 最大值 k+|A|
  • 最小值 k-|A|
  • 平移时要先提出 ω
  • 五点作图应选取一个完整周期
04

正弦定理与余弦定理

正弦定理适合已知两角一边或两边一对角；余弦定理适合已知三边或两边夹角。已知两边和其中一边对角时要检查多解。

  • a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
  • c²=a²+b²-2ab cosC
  • 边角必须正确对应
  • 三角形内角和为 π

02 公式清单

公式必须和适用条件一起记

sin²x+cos²x=1sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβT=2π/|ω|c²=a²+b²-2ab cosC

03 解题流程

遇到题目先做什么

  1. 标明角的范围和单位
  2. 把角、函数名或次数统一
  3. 结合图像或边角条件选择公式
  4. 检查周期、象限和三角形是否存在

04 完整例题

在三角形 ABC 中，a=3，b=4，C=60°，求 c。

  1. 已知两边及其夹角，使用余弦定理。
  2. c²=a²+b²-2ab cosC=9+16-24×1/2。
  3. 得到 c²=13，因为边长为正。
答案c=√13。

05 自测问题

合上答案后能否说清楚

  • 为什么 y=sin(2x+π/3) 的横向平移量不是 π/3？
  • 正弦定理出现两解时如何判断？
  • 三角恒等变形通常先统一哪两件事？
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