00 教材细分目录
本专题包含 14 个可单独查看的知识点
01 概念详解
先把概念边界弄清楚
01
函数三要素
定义域、对应关系和值域共同确定函数。判断两个函数是否相同，先比较定义域，再比较同一自变量对应的函数值。
- 分母不能为零
- 偶次根式被开方数不小于零
- 对数真数大于零
- 实际问题还要满足现实范围
02
单调性与最值
单调性描述函数值随自变量变化的趋势。可用定义、图像、复合函数规律或导数判断，求值域和零点个数时经常依赖单调性。
- 必须在指定区间讨论
- 增函数不代表函数值为正
- 最值要比较区间内部和端点
- 复合函数需判断内外层单调方向
03
奇偶性、周期性与对称性
奇偶性的前提是定义域关于原点对称。偶函数图像关于 y 轴对称，奇函数图像关于原点对称；周期函数满足自变量平移一个周期后函数值不变。
- f(-x)=f(x) 为偶函数
- f(-x)=-f(x) 为奇函数
- 奇函数若在 x=0 有定义则 f(0)=0
- 周期不一定只有一个
04
指数、对数与零点
指数函数和对数函数互为反函数。底数大于 1 时递增，底数在 0 与 1 之间时递减。方程的根可以转化为函数零点或两图像交点。
- 底数 a>0 且 a≠1
- logₐx 的定义域为 x>0
- 零点不是一个点而是自变量值
- 连续函数异号区间内至少有一个零点
02 公式清单
公式必须和适用条件一起记
f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)aˣaʸ=aˣ⁺ʸlogₐ(MN)=logₐM+logₐNlogₐb=ln b/ln a03 解题流程
遇到题目先做什么
- 先写定义域
- 识别函数结构和可用性质
- 选择代数、图像或单调性方法
- 检查端点、零点和实际范围
04 完整例题
求函数 f(x)=ln(2-x)+1/(x+1) 的定义域。
- 对数要求 2-x>0，所以 x<2。
- 分式要求 x+1≠0，所以 x≠-1。
- 两个条件取交集。
答案定义域为 (-∞,-1)∪(-1,2)。
05 自测问题
合上答案后能否说清楚
- 为什么讨论奇偶性前必须检查定义域？
- y=f(x-2)+3 的图像怎样由 y=f(x) 平移得到？
- 如何用单调性判断方程 f(x)=0 的根数？
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