00 教材细分目录
本专题包含 7 个可单独查看的知识点
01 概念详解
先把概念边界弄清楚
01
线性运算与基底
向量可以相加、相减和数乘。平面内两个不共线向量可作为基底，任意向量都能唯一表示为这两个基向量的线性组合。
- 向量相等要求大小和方向都相同
- 零向量方向不确定
- 数乘负数会反向
- 基底向量必须不共线
02
共线与坐标表示
非零向量 a、b 共线等价于存在实数 λ 使 a=λb。坐标法中可用分量成比例或行列式形式判断。
- a∥b 不要求方向相同
- x₁y₂-x₂y₁=0
- 三点共线可比较两个方向向量
- 坐标运算逐分量进行
03
数量积
数量积把两个向量变成一个实数，反映一个向量在另一个方向上的投影。它是求夹角和判断垂直的主要工具。
- a·b=|a||b|cosθ
- a⊥b ⇔ a·b=0
- a·a=|a|²
- 数量积满足分配律
04
向量几何应用
几何题可选取原点和基底，把点、边和中线写成向量关系；也可建立平面直角坐标系，把证明转为代数计算。
- 先选择计算简单的基底
- 垂直转化为数量积为零
- 长度转化为模
- 夹角余弦要检查正负
02 公式清单
公式必须和适用条件一起记
a·b=|a||b|cosθ|a|=√(x²+y²)a⊥b ⇔ a·b=0a∥b ⇔ x₁y₂-x₂y₁=003 解题流程
遇到题目先做什么
- 确定基底或建立坐标系
- 把几何条件写成向量关系
- 使用共线、数量积或模长公式
- 把代数结果翻译回几何结论
04 完整例题
已知 a=(1,2)，b=(2,-1)，判断 a 与 b 的位置关系。
- 计算数量积 a·b=1×2+2×(-1)。
- 结果为 0。
- 两个向量都不是零向量，因此数量积为零说明垂直。
答案a⊥b。
05 自测问题
合上答案后能否说清楚
- 零向量能否作为一组基底中的向量？
- 证明三点共线时应构造哪两个向量？
- 投影数量为什么可能为负？
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