00 教材细分目录
本专题包含 10 个可单独查看的知识点
01 概念详解
先把概念边界弄清楚
01
通项与递推
通项公式直接给出第 n 项，递推公式通过前面若干项生成后一项。递推关系必须与初始条件共同使用。
- n 通常为正整数
- 递推式不能脱离首项
- 可通过作差或作商识别规律
- 复杂递推常通过换元转化
02
等差数列
相邻两项之差为常数 d。通项关于 n 是一次函数，前 n 项和关于 n 是二次式，可利用中项性质快速计算。
- aₙ=a₁+(n-1)d
- 等距下标项之和相等
- Sₙ=n(a₁+aₙ)/2
- d=0 时为常数列
03
等比数列
从第二项起，相邻两项之比为同一非零常数 q。等比中项和求和公式均需注意项是否为零以及 q=1 的特殊情况。
- aₙ=a₁qⁿ⁻¹
- q 不为零
- Sₙ 公式需分 q=1 与 q≠1
- 等比中项平方等于相邻两项积
04
数列求和
求和方法由项的结构决定。等差乘等比常用错位相减，分式可尝试裂项，含 Sn 的关系则用 aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁。
- 由 Sn 求 an 时 n=1 单独处理
- 裂项后保留首尾未消项
- 错位相减要对齐同次项
- 结果需检查项数
02 公式清单
公式必须和适用条件一起记
aₙ=a₁+(n-1)dSₙ=n(a₁+aₙ)/2aₙ=a₁qⁿ⁻¹Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q≠1）aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁（n≥2）03 解题流程
遇到题目先做什么
- 观察相邻项的差、比或递推结构
- 选择直接公式、换元或构造新数列
- 根据项的乘积或分式结构选择求和方法
- 验证 n=1 和特殊参数
04 完整例题
等差数列中 a₁=2，d=3，求 a₁₀ 与 S₁₀。
- a₁₀=2+(10-1)×3=29。
- 使用 S₁₀=10(a₁+a₁₀)/2。
- 代入得到 S₁₀=5×31。
答案a₁₀=29，S₁₀=155。
05 自测问题
合上答案后能否说清楚
- 由 Sn 求 an 时为什么要单独检查 n=1？
- 什么结构适合错位相减？
- q=1 时等比数列求和公式怎样处理？
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