00 教材细分目录
本专题包含 10 个可单独查看的知识点
01 概念详解
先把概念边界弄清楚
01
集合及其关系
集合由确定的对象组成，元素与集合之间使用“属于”，集合与集合之间使用“包含”。处理集合题时，应先确认全集、元素范围和端点能否取到。
- 交集表示同时满足
- 并集表示至少满足一个
- 补集依赖指定全集
- 空集是任何集合的子集
02
充分条件与必要条件
若由 p 能推出 q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。判断充要关系时必须分别检查 p⇒q 和 q⇒p，不能只凭语感。
- 推出关系具有方向
- 反例可以否定推出
- 原命题与逆否命题同真同假
- 命题否定不等于否命题
03
全称量词与存在量词
全称命题要求范围内每个对象都成立，存在命题只需找到至少一个对象。否定时量词和结论要同时改变。
- 全称命题的否定是存在命题
- 存在命题的否定是全称命题
- 说明存在只需举例
- 否定全称只需反例
04
不等式与基本不等式
不等式变形必须保持等价。乘除负数要改变方向，平方和取倒数要先检查符号。基本不等式适用于正数，并且取等条件必须能够实现。
- a+b≥2√ab 要求 a,b>0
- 取等条件为 a=b
- 一元二次不等式可结合函数图像
- 含参数问题常转化为区间包含
02 公式清单
公式必须和适用条件一起记
A∩B，A∪B，CᵤAp⇒q；p⇔qa+b≥2√ab（a>0，b>0）|x-a|<r ⇔ a-r<x<a+r03 解题流程
遇到题目先做什么
- 把文字条件翻译成集合或区间
- 在数轴上标出端点和开闭
- 进行交、并、补或包含运算
- 回到原条件检查端点与参数取值
04 完整例题
已知 A={x|x>1}，B={x|x≤a}，若 A∩B≠∅，求 a 的范围。
- A∩B 非空表示存在 x 同时满足 x>1 与 x≤a。
- 要使区间 (1,+∞) 与 (-∞,a] 有公共点，右端点 a 必须大于 1。
- 当 a=1 时没有 x 能同时满足 x>1 和 x≤1，因此不能取等。
答案a>1。
05 自测问题
合上答案后能否说清楚
- 能否写出“所有实数 x 都满足 f(x)>0”的否定？
- 集合包含问题中，何时需要单独讨论空集？
- 使用基本不等式求最值前，应检查哪两个条件？
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