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本专题包含 18 个可单独查看的知识点

简单随机抽样与分层抽样频率分布表与统计图表众数、中位数与平均数方差与标准差相关关系与一元线性回归独立性检验随机事件与样本空间古典概型概率的基本性质条件概率与全概率公式事件的相互独立分类加法与分步乘法计数原理排列组合二项分布与超几何分布离散型随机变量及其分布列数学期望与方差正态分布

01 概念详解

先把概念边界弄清楚

01

计数原理与排列组合

分类完成一件事使用加法原理，分步完成一件事使用乘法原理。排列关心顺序，组合只关心选取。

  • 分类必须互不重叠
  • 分步必须共同完成任务
  • 相邻问题常用捆绑法
  • 不相邻问题常用插空法
02

概率与条件概率

概率建立在清晰的样本空间上。条件概率表示在事件 A 已发生的条件下 B 的概率，样本空间因此发生改变。

  • 互斥不等于独立
  • 对立事件概率和为 1
  • P(B|A)=P(AB)/P(A)
  • 全概率公式按互斥完备事件分解
03

随机变量与分布

随机变量把随机结果数值化。分布列列出全部可能取值及其概率，期望描述平均水平，方差描述波动程度。

  • 分布列概率非负且总和为 1
  • 二项分布对应独立重复试验
  • 超几何分布对应不放回抽取
  • 正态分布图像关于均值对称
04

抽样与统计推断

简单随机抽样和分层抽样用于获得代表性样本。相关系数、回归直线和独立性检验给出的都是统计意义上的结论。

  • 样本应具有代表性
  • 相关不等于因果
  • 回归直线经过样本中心
  • 独立性检验不能表述为绝对确定

02 公式清单

公式必须和适用条件一起记

Aₙᵐ=n!/(n-m)!Cₙᵐ=n!/[m!(n-m)!]P(B|A)=P(AB)/P(A)E(X)=ΣxᵢpᵢD(X)=E(X²)-[E(X)]²

03 解题流程

遇到题目先做什么

  1. 写清研究对象和样本空间
  2. 判断有序无序、放回不放回、独立不独立
  3. 列出事件或随机变量全部可能
  4. 计算后用题目背景解释结论

04 完整例题

一枚均匀硬币独立抛掷 3 次，恰有 2 次正面的概率是多少？

  1. 每次试验相互独立，正面概率为 1/2。
  2. 从 3 次中选择 2 次出现正面，共 C₃² 种。
  3. 每个指定序列概率为 (1/2)³。
答案C₃²(1/2)³=3/8。

05 自测问题

合上答案后能否说清楚

  • 互斥事件为什么通常不独立？
  • 排列与组合的判断标准是什么？
  • 统计结论为什么不能写成百分之百确定？
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