00 教材细分目录
本专题包含 9 个可单独查看的知识点
01 概念详解
先把概念边界弄清楚
01
导数概念与几何意义
导数由平均变化率的极限得到。函数在 x₀ 处的导数等于该点切线斜率，但可导比连续要求更强。
- 可导一定连续
- 连续不一定可导
- 导数是变化率不是函数值
- 切点必须在原函数图像上
02
求导运算
掌握基本初等函数导数、和差积商法则与简单复合函数求导。求导前应先确认定义域。
- (uv)'=u'v+uv'
- 商法则分母平方
- 复合函数使用链式法则
- 常数导数为零
03
单调、极值与最值
导函数正负决定原函数增减。极值要求导数在点两侧变号，闭区间最值还要比较端点函数值。
- f'(x)=0 不一定有极值
- 极值是局部概念
- 最值是指定范围内整体比较
- 不可导点也可能是极值点
04
参数与恒成立
含参数问题常把不等式转成参数与某个函数最值的比较，或构造差函数证明其始终非负。
- 先分离参数再求最值
- 参数影响导函数零点时需分类
- 零点个数可用单调性和端点符号
- 结论需结合定义域
02 公式清单
公式必须和适用条件一起记
(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹(eˣ)'=eˣ(ln x)'=1/x(uv)'=u'v+uv'y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)03 解题流程
遇到题目先做什么
- 写定义域并求导
- 求导函数零点和不可导点
- 列表判断导数符号
- 比较函数值并回答单调、极值或参数问题
04 完整例题
求 f(x)=x²-4x+1 在 x=1 处的切线方程。
- f'(x)=2x-4，所以 f'(1)=-2。
- 切点纵坐标 f(1)=1-4+1=-2。
- 使用点斜式 y+2=-2(x-1)。
答案y=-2x。
05 自测问题
合上答案后能否说清楚
- 导数为零为什么不一定是极值点？
- 闭区间求最值时为什么要比较端点？
- 过某个已知点的切线中，该点一定是切点吗？
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